선천적 이중국적자 미국이름

부모님 유학시 미국서 태어난 선천적 이중국적자입니다

미국여행 두번할때 한국여권만 사용했는데

아이들 데리고 단기유학가려고 예전에 어릴적 만료된 미국여권을 재발급 받았습니다
한국출국시에는 한국여권을, 미국입국시에는 미국여권을 사용해야한다는데

미국명과 한국명이 한글자 차이납니다

예로,한국명은 이미자, 미국명은 Lee Mee입니다

미국명에 Ja를 추가시켜 변경해야 하는지, 아니면 그대로 두가지 여권 가지고 다니면서 동일인임을 설명해야하는지요ᆢ

향후 아이들 데리고 미국유학생활시 굳이 이름을 통일하는게 미국생활에 편할까요?

미국이름 변경은 절차가 오래걸리나요?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------